ケリー基準の計算機
— 期待値がプラスでも、賭けすぎれば資金は減る

1. なぜ「平均」ではなく「対数」で考えるのか

1回の賭けで、確率 p で賭け金の b 倍を得て、確率 q = 1 − p で賭け金を失うとします。 手持ち資金のうち比率 f（0以上1以下）を毎回張ると、資金は勝てば 1 + bf 倍、負ければ 1 − f 倍になります。

ここで大事なのは、資金は足し算ではなく掛け算で動くということです。 1回目に2倍になり2回目に半分になったら、平均すれば +25% ですが、実際の手持ちは元に戻っているだけです。 掛け算で動くものの「長い目で見た速さ」を測るには、平均ではなく対数の平均を見る必要があります。

この g(f) を最大にする f が、ケリー基準の答えです。 g(f) を f で微分してゼロと置くと、途中式は次のようになります。

分子がそのまま期待値になっているのが、この式のいちばん重要なところです。 1を賭けたときの期待収支は b·p − q なので、これが0以下、つまり期待値がマイナスかトントンなら f* は0以下になります。数式が「賭けるな」と答えている状態です。

2. 計算機

勝率と配当を入れると、ケリー比率・そのときの成長率・自分で決めた比率での成長率・ 成長率がちょうどゼロになる比率（ここを越えると長期では減る）を計算します。

「n回後の資金（中央値の目安）」は en·g(f) です。 平均値ではありません。平均は一部の極端に大きい結果に引っ張られるので、 「自分に起きやすい結果」を見たいときは中央値側で見るほうが実態に近くなります。

3. この式が言っている、3つのこと

① 期待値がマイナスなら、最適な賭け金はゼロ

控除率のあるゲームでは b·p − q が必ずマイナスになります。 たとえばヨーロピアンルーレットの赤に張ると p = 18/37、b = 1 なので、 エッジは 18/37 − 19/37 = −1/37 ≒ −2.70%（※このページ内の数え上げによる実測値）。f* はマイナスになり、 「最適な行動は張らないこと」以外の答えが出ません。 賭け金の増やし方をどう工夫しても、この符号は変わりません（→ベッティングシステム検証室で5種類を実測しています）。

② 「2倍張る」と、増えるはずのものが増えなくなる

成長率 g(f) は上に凸の形をしていて、f = 0 でゼロ、f = f* で最大、 そしてその先でもう一度ゼロに戻ります。上の計算機の「成長率がゼロになる比率」がその点です。 イーブンマネー（b = 1）のときは、この点がおよそ 2·f* になります。 ケリーの2倍を張ると、勝てる賭けなのに長期では増えないということです。 それ以上張れば、期待値がプラスのまま資金は減っていきます。

③ だから実務では「半分」にする

成長率の曲線は f* の近くで平らです。f* の半分しか張らなくても、 成長率は最大値の およそ4分の3 が残ります（計算機で f を半分にして確かめられます）。 一方で、資金が途中で大きく凹む幅は目に見えて小さくなります。 速さをわずかに手放して、揺れを大きく減らす——これがハーフケリーと呼ばれる運用です。

数字を1つ入れてみる

勝率55%・イーブンマネー（b = 1）で考えます。エッジは 1×0.55 − 0.45 = 0.10、 つまり1を賭けるたびに平均 0.10 だけ増える、はっきり有利な賭けです。ケリー比率は 0.10 / 1 = 10%。 このとき1回あたりの成長率は約 0.00501 で、100回続ければ資金はおよそ 1.65 倍です（※上の計算機で実測）。

※ 表の値は p＝55%・b＝1 を上の計算機に入れて得た実測値です（2026年9月時点のこのページの実装。小数第5位で丸め）。横にスクロールできます。

勝率も配当も一切変えていないのに、賭け金の比率を 10% から 40% に上げただけで、 増える賭けが減る賭けに変わります。上の計算機に同じ数字を入れれば、この4行はそのまま再現できます。

4. このページで前提にしていること（＝当てはまらない場合）

• 勝率 p と配当 b を正しく知っていること。実際にはここが最大の不確実性で、 p を自分に都合よく見積もれば f* は簡単に過大になります。 ケリー基準は「見積もりが正しければ」という条件つきの最適解です。
• 資金は連続で分割できること。最低賭け金や単位の刻みがあると、比率どおりには張れません。
• 同じ賭けを繰り返せること。1回きりの勝負に対数成長率を当てはめる意味はありません。
• 破産しないこと。この式は f < 1 である限り資金がゼロにならないことを前提にしています。 現実にはテーブル上限・資金の下限・回数の上限があります。

このページの数式はすべてこの画面内で導出しています（外部の出典に依存していません）。 成長率がゼロになる比率は、閉じた式ではなく二分法による数値解として計算しています。

5. まとめ

• ケリー基準は勝てる賭けを作る式ではなく、勝てる賭けにいくら張るかだけを決める式です。
• 最適比率は f* = (b·p − q) / b。分子は1を賭けたときの期待収支そのものなので、期待値がマイナスなら答えは「張らない」になります。
• 成長率はケリー比率で最大になり、そのおよそ2倍でゼロに戻ります。それより上は、有利な賭けでも資金が減る領域です。
• ケリー比率の半分に落としても成長率は最大の約75%が残り、途中の落ち込みだけが小さくなります。
• いちばん危ういのは式ではなく、勝率 p の見積もりです。p を甘く見れば f* はいくらでも大きく出ます。

次の1アクション

上の計算機で、まず自分がふだん張っている比率を f に入れて試してみてください。 成長率が0以下と出たら、勝率や配当ではなく賭け金の大きさだけが原因です。 控除率のあるゲームでそもそもエッジが取れるのかは、還元率ラボで種目別に確認できます。